Définition
\(\triangleright\) Définition du moment cinétique orbital
On définit le moment cinétique orbital \(\vec L\) en associant au composantes classiques des Opérateurs \(Q\):
$$\vec L={{\vec R\wedge \vec P}}$$
Avec:
- \(L_x, L_y, L_z\): des Opérateurs autoadjoints - hermitiques car ils s'écrivent en fonction de \(\hat X\) et \(\hat P\) hermitiques aux même.
Propriétés
\(\triangleright\) Commutation moment cinétique orbital
Les moments cinétiques orbital ne commutent pas entre eux (Commutateur):- \([L_x,L_y]={{i\hbar L_z}}\)
- \([L_y,L_z]={{i\hbar L_x}}\)
- \([L_z,L_x]={{i\hbar L_y}}\)
\(\triangleright\) Propriétés du moment cinétique orbital
$$L^2={{L_x^2+L_y^2+L_z^2}}$$- \([L^2,L_y]=[L^2,L_x]=[L^2,L_z]={{0}}\)
- \(\vec L\wedge \vec L={{i\hbar\vec L}}\)
\(\triangleright\) Propriétés remarquables
Expressions en coordonnées
\(\triangleright\) Expression du moment cinétique orbital en coordonnées cartésiennes
$$\vec L= \begin{cases} L_x=-i\hbar \left(y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y}\right)\\ L_y=-i\hbar \left(z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z}\right)\\ L_z=-i\hbar \left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right) \end{cases}$$
\(\triangleright\) Expression du moment cinétique orbital en coordonnées sphériques
$$L_x=i\hbar\left(\sin(\phi)\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\cos(\phi)}{\tan(\theta)}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)$$
$$L_y=i\hbar \left(-\cos(\phi)\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{\sin(\phi)}{\tan(\theta)}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)$$
$$L_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial \phi}$$
$$L^2=-\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\frac{1}{\tan(\theta)}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{1}{\sin^2(\theta)}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right)$$
$$L_+=\hbar e^{i\phi}\left(\frac{\partial }{\partial \theta}+i\cot(\theta)\frac{\partial}{\partial \phi}\right)$$
$$L_-=\hbar e^{-i\phi}\left(-\frac{\partial}{\partial \theta}+i\cot(\theta)\frac{\partial}{\partial \phi}\right)$$
\(\triangleright\) Equations aux valeurs propres
On réécrit la fonction d'onde comme: \(\Psi(r,\theta,\phi)=f(r)Y_l^m(\theta,\phi)\)
Avec les harmoniques sphériques \(Y^m_l\), on trouve:
$$\begin{cases}L^2Y_l^m(\theta,\phi)={{l(l+1) \hbar^2Y^m_l(\theta,\phi)}} \\ L_zY_l^m(\theta,\phi)={{m\hbar Y_l^m(\theta,\phi)}}\end{cases}$$
Les harmoniques sphériques sont normés.
\(\triangleright\) Relations remarquables
En utilisant \(L_+\) et/ou \(L_-\), on peut déterminer tous les \(Y_l^m(\theta, \phi)\) grâce à:- \(Y^l_l(\theta,\phi)= {{C_l(\sin(\theta))^l.e^{il\phi} }}\)
Avec \(C_l=\frac{(-1)^l}{2^ll!}\sqrt{\frac{(2l+1)!}{4\pi} }\) (normalisation)
(Démo N°1)
\(\triangleright\) Forme générale
La forme générale de \(Y_l^m(\theta, \phi)\) en terme de fonctions associées de Legendre sous la forme:
$$Y_l^m(\theta, \phi)=(-1)^m\sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!} }e^{im\phi}P_l^m(\cos(\theta))\qquad m\leq 0$$
$$Y_l^m(\theta, \phi)=\sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!} }e^{im\phi}P_l^m(\cos(\theta))\qquad m\lt 0$$
Avec:
- \(P_l^m(x)\): Polynôme de Legendre
Propriétés \(Y_l^m(\theta, \phi)\) :
- Orthogonalité \(\langle{l,m|l',m'}\rangle ={{\delta_{l,l'}\delta_{m,m'} }}\)
Exemple de calcul d'un rotateur rigide (molécule diatomique): note N°2
